Intuition et probabilités

27 juin 2012 § Poster un commentaire

Ah, les « raisonnements intuitifs ». S’ils peuvent rendre service du fait de leur rapidité, on se heurte aussi aux limites amenées par les approximations qu’ils comportent.

J’ai découvert cette vidéo de Lazarus, suite à un tweet de sa part. Le principe en est simple :

Trois portes sont présentées au joueur que vous êtes. L’une d’entre elles renferme un prix, tandis que les deux autres n’en renferment pas.  Vous gagnez si vous découvrez la bonne.

L’animateur du jeu vous demande d’énoncer votre choix. Cependant, il n’ouvre pas la porte indiquée, mais vous donne à la place un indice : il ouvre pour vous l’une des deux portes non choisies et qu’il sait ne pas renfermer le prix, de sorte qu’il n’y ait plus que deux portes fermées, dont l’une – la même qu’initialement – abrite le prix.

Il vous demande alors de confirmer votre choix, ou bien de le modifier, puis ouvre la porte correspondant à votre dernier mot.

Mon raisonnement à évidemment été le suivant :  « dès lors que l’on a de source sûre connaissance du fait que l’une des portes est mauvaise, chacune des deux portes restantes a 50% de chances d’être la bonne. Maintenir ou modifier son choix est donc indifférent ».

Et bien non. Modifier son choix a deux fois plus de chances de conduire à l’ouverture de la porte gagnante que le maintenir.

Dans la vidéo en question, Lazarus étaye cette affirmation par une explication que je résumerais ainsi :

Chaque porte a initialement une chance sur trois d’être la bonne, si bien que l’ensemble des deux portes non choisies constitue à lui seul deux tiers des chances. Révéler que l’une de ces deux portes n’est pas la bonne permet donc à la porte non initialement choisie et n’ayant pas été ouverte d’être porteuse à elle seule de ces deux tiers de chances, tandis que la porte initialement choisie conserve son seul tiers.

Peut-être y a-t-il de quoi convaincre le mathématicien, mais pas l’intuitif, qui se trouve plutôt heurté dans ses convictions. En effet, à quel titre la porte que je n’ai pas choisie initialement aurait-elle deux fois plus de chances d’être la bonne ? Mon choix initial n’a aucune importance puisqu’il a été énoncé après que soit déterminée la porte qui renferme le prix.

J’ai fait cette observation à Lazarus sur Twitter. Il m’a appris que cette vidéo est l’illustration d’un problème de probabilités connu, nommé Problème de Monty Hall. La consultation de la page Wikipédia correspondante donne les éléments nécessaire à sa compréhension mathématique. Le choix initial n’a certes pas d’influence sur quelle porte renferme le prix, mais il a une influence sur le comportement de l’animateur du jeu. Si le choix initial du joueur est le bon, l’animateur ouvrira l’une des deux autres portes au hasard. Si le choix initial du joueur n’est pas le bon, l’animateur n’aura pas le choix de la porte à ouvrir : il devra ouvrir parmi les deux restantes celle qui ne renferme pas le prix. Et cela suffit à affecter la distribution des probabilités.

Admettons, mais je ne parviens pas à me satisfaire d’une explication lorsqu’elle continue de heurter mon intuition. Ou plutôt, j’ai besoin de convaincre cette dernière.

Or cette page Wikipédia donne aussi le code source d’un programme Javascript permettant de simuler ce jeu afin de se rendre compte par soi-même : il simule un grand nombre de parties, et comptabilise les parties gagnées en fonction du fait que le joueur maintienne ou modifie son choix initial suite à la révélation d’une porte non choisie et ne renfermant pas de prix. Jouer avec ce programme m’a permis de me convaincre de façon empirique de la validité de l’explication mathématique, mais toujours sans comprendre. « Comment cela se fait-il ? Mon choix initial ne conditionne pas la porte qui abrite le prix, nom d’un chien ! Comment pourrait-il alors affecter la distribution des probabilités ? »

J’ai modifié le programme de démonstration afin de lui faire suivre le même chemin que mon raisonnement, en le déclinant en trois versions :

  • dans la première, le joueur choisit au hasard parmi les deux portes restantes au moment de la confirmation de son choix :
Expérience 1 : le joueur choisit au hasard parmi les portes restantes :
Après 10000000 parties…
Le candidat a gagné 5004524 fois.
Le nombre de réussite sans effectuer de changement est de 1667463
Le nombre de réussite en effectuant un changement est de 3337061
La ratio de réussite avec / sans changement est de 2.00123
  • dans la seconde, le joueur maintient toujours son choix initial :
Expérience 2 : le joueur maintient toujours son choix :
Après 10000000 parties…
Le candidat a gagné 3332513 fois.
  • et dans la troisième enfin, il change toujours de choix :
Expérience 3 : le joueur change toujours d'avis :
Après 10000000 parties…
Le candidat a gagné 6668008 fois.

Et c’est là qu’est venu le déclic. Les résultats des trois expériences montrent que conformément à l’explication mathématique de ce problème, changer d’avis systématiquement après révélation par l’animateur d’une porte non choisie et ne renfermant pas de prix donne deux fois plus de chances de gagner que maintenir systématiquement son choix initial. Mais en plus de cela, l’expérience n°1 montre qu’en choisissant au hasard parmi deux portes, on a une chance sur deux de gagner, conformément à ce que l’intuition laisse présager.

C’est alors que j’ai compris que mon « raisonnement intuitif » comportait une approximation. L’assimilation erronée des deux propositions qui suivent :

  • « chaque porte restante a 50% de chances d’être la bonne » – ce qui est faux, bien que contre-intuitif : elles ont respectivement un tiers et deux tiers de chances du fait de l’influence du choix initial sur les possibilités données à l’animateur du jeu de révéler une porte perdante
  • et « en choisissant au hasard l’une des deux portes restantes, j’ai 50% de chances de gagner » – ce qui est vrai, et tout à fait conforme à l’intuition.

Cela peut sembler contradictoire, alors que ça ne l’est pas : en choisissant au hasard au moment de la confirmation du choix, on obtient la moyenne des probabilités de chacun des choix possibles. Or la moyenne de 1/3 et de 2/3 est effectivement 1/2, ce qui en probabilités représente bien 50% de chances.

Ouf. Tout va bien, donc.  Mais l’intuition, ici, était mauvaise conseillère.


– Source Wikipédia : Article Problème de Monty Hall (auteurs) – Contenu soumis à la licence CC-BY-SA.

– Source du programme modifié sur demande.

Chère madame, je crois que vous vous tirez une balle dans le pied

4 novembre 2011 § Poster un commentaire

Je ne comprends pas.

Quel intérêt Nadine Morano trouve-t-elle à porter plainte contre ce journaliste de l’Est Républicain au motif que contrairement à ce qu’il avance, elle n’aurait pas refusé d’être contrôlée à l’aéroport de Rome mais simplement souhaité être contrôlée dans un salon privé ? Quel intérêt a-t-elle trouvé en 2009 à poursuivre une internaute ayant posté à son endroit le commentaire « Hou la menteuse » sous une vidéo de DailyMotion ? Ce ne sont que deux exemples – diffamation dans le premier cas, injures publiques dans l’autre – mais Rue89 nous en a révélé d’autres.

Quel intérêt également, ou plutôt quel sens donner à ce fameux « J’exerce mon droit à l’image. Plus jamais vous ne me prendrez en photo, c’est fini ! » lancé à un photographe lors d’une réunion UMP ?

Tous les personnages publics, et particulièrement politiques, sont sujets à controverses, à quolibets, à commentaires de toutes sortes. Exercer un droit de réponse aurait suffi, et dans le cas de l’article de l’Est Républicain, celui-ci aurait pu inclure un démenti. Quant aux photographies, il est simplement vain, pour ne pas dire aberrant,  de songer à les interdire lorsque l’on exerce de telles fonctions.

L’ironie est que ceci a pour conséquence de générer bien d’autres réactions et commentaires, basés cette fois sur les actions intentées. Mme Morano entretient la chose qu’elle essaie de combattre par le simple fait de vouloir la combattre activement.  Ajoutons à cela quelques sorties malheureuses – Renaud, ou encore « Internet, je déteste » – et c’en est fini : Nadine Morano est devenue  un mème dont le côté durable tient aux aspects négatifs prêtés à sa personnalité. Et c’est ainsi que naquit le Best Of de Moranofacts, par exemple.

Y a-t-il moyen pour Mme Morano de renverser la vapeur ? Sans doute. Avec le temps, va. Plus personne ne parle aujourd’hui de cet élève de grande école qui avait défrayé la chronique en 1999. Mais cela suppose de prendre leçon des conséquences de ses actes. De prendre sur soi et d’ignorer les commentaires négatifs que l’on peut lire à son endroit, ou encore d’y répondre avec humour si tant est que l’on en s’en sente l’aplomb.

Et peut-être aussi de prendre conscience de sa vulnérabilité face aux critiques. D’enfin l’admettre pour la gérer, plutôt que de s’illusionner à se croire fort en contrant frénétiquement toute contestation, de front, et sans percevoir le ridicule de la situation. Mais quant à ce dernier point j’ai dit  » peut-être », hein. Je ne l’affirme pas mais le perçois ainsi, inutile de porter plainte.

A suivre, en tous les cas, ce très intéressant cas d’école.

Où suis-je ?

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